1
Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Đại số tuyến tính

Chương 0: Số phức


Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008)
www.tanbachkhoa.edu.vn
2
Mục tiêu của môn học Toán 2
3
4
Nhiệm vụ của sinh viên.
Đánh giá, kiểm tra.
5
Tài liệu tham khảo
1. Đỗ Công Khanh, Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Đại số tuyến tính. NXB Đại học quốc gia
2. Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Bài tập toán cao cấp 2.
11. www.tanbachkhoa.edu.vn
3. Đỗ Công Khanh. Đại số tuyến tính. NXB ĐH quốc gia
6
Nội dung
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.1 - D?ng d?i s? c?a s? ph?c
0.2 – Dạng lượng giác của số phức
0.4 – Nâng số phức lên lũy thừa
0.5 – Khai căn số phức
0.6 – Định lý cơ bản của Đại số
0.3 – Dạng mũ của số phức
7
0.1 Dạng đại số của số phức
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
8
0.1 Dạng Đại số của số phức
-----------------------------------------------------------------
9
0.1 Dạng Đại số của số phức
-----------------------------------------------------------------
10
0.1 Dạng Đại số của số phức
-----------------------------------------------------------------
Giải
z = (2 + 5i)(3 + 2i)
= 6 + 4i + 15i + 10 i2
Vậy dạng đại số của số phức là: z = -4 + 19i.
= 2.3 + 2.2i + 3.5i + 5i.2i
= 6 + 19i + 10(-1)
= -4 + 19i
11
0.1 Dạng Đại số của số phức
-----------------------------------------------------------------
Giải
12
0.1 Dạng Đại số của số phức
-----------------------------------------------------------------
Giải
z = (3 + 5i) + (2 - 3i)
= (3+2) + (5i – 3i) = 5 + 2i.
13
0.1 Dạng Đại số của số phức
-----------------------------------------------------------------
Tính chất của số phức liên hợp
14
0.1 Dạng Đại số của số phức
-----------------------------------------------------------------
15
0.1 Dạng Đại số của số phức
-----------------------------------------------------------------
Giải.
z = (2 + 3i) (4 - 2i)
= 2.4 – 2.2i + 3i.4 – 3i.2i
= 8 – 4i + 12i – 6i2
= 8 – 4i + 12i – 6(-1)
= 14 + 8i.
16
0.1 Dạng Đại số của số phức
------------------------------------------------------------------
17
0.1 Dạng Đại số của số phức
-----------------------------------------------------------------
Phép chia hai số phức.
18
0.1 Dạng Đại số của số phức
-----------------------------------------------------------------
Giải.
19
0.2 Dạng lượng giác của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
r
b
a
trục thực
trục ảo
20
0.2 Dạng lượng giác của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
Vậy mod(z) = |z| =
a = 3; b = -4.
21
0.2 Dạng lượng giác của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho z = a + bi và w = c + di.
Chú ý:
Nếu coi số phức z = a + bi là một điểm có tọa độ (a, b), thì
là khoảng cách từ điểm (a, b) đến gốc tọa độ.
là khoảng cách giữa hai điểm (a, b) và (c,d).
22
0.2 Dạng lượng giác của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
đường tròn tâm (2,-3) bán kính bằng 5.
23
0.2 Dạng lượng giác của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
Tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng sao cho tổng khoảng cách từ đó đến hai điểm cho trước (0,1) và (0,-1) không thay đổi bằng 4 chính là ellipse.
24
0.2 Dạng lượng giác của số phức
----------------------------------------------------------------------------
Công thức tìm argument của số phức.
25
0.2 Dạng lượng giác của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
Môđun:
Suy ra
Dạng lượng giác:
Argument:
26
0.2 Dạng lượng giác của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
Tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng sao cho khoảng
cách từ đó đến hai điểm (2,0) và (-2,0) bằng nhau.
Đây chính là trục tung.
27
0.2 Dạng lượng giác của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
28
0.2 Dạng lượng giác của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
29
0.2 Dạng lượng giác của số phức
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
30
0.2 Dạng lượng giác của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
Dạng lượng giác:
31
0.2 Dạng lượng giác của số phức
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
32
0.2 Dạng lượng giác của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
Dạng lượng giác:
33
0.3 Dạng mũ của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
34
0.3 Dạng mũ của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dạng lượng giác:
Dạng mũ:
35
0.3 Nâng số phức lên lũy thừa
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
36
0.3 Dạng mũ của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Môđun không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là đường tròn.
37
0.3 Dạng mũ của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Argument không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là nửa đường thẳng nằm trong góc phần tư thứ 2.
38
0.4 Nâng số phức lên lũy thừa
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa phép nâng số phức lên lũy thừa bậc n
39
0.3 Nâng số phức lên lũy thừa
--------------------------------------------------------------
Lũy thừa bậc n của số phức i:
40
0.3 Dạng mũ của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
41
0.3 Nâng số phức lên lũy thừa
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
42
0.3 Nâng số phức lên lũy thừa
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
43
0.3 Nâng số phức lên lũy thừa
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
Bước 1. Viết 1 + i ở dạng lượng giác
Bước 2. Sử dụng công thức de Moivre’s:
44
0.4 Khai căn số phức
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
45
0.4 Khai căn số phức
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải câu a)
Viết số phức ở dạng lượng giác:
Sử dụng công thức:
46
0.5 Định lý cơ bản của Đại số
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
47
0.4 Khai căn số phức
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải câu b)
Viết số phức ở dạng lượng giác:
Sử dụng công thức:
48
0.5 Định lý cơ bản của Đại số
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
49
0.5 Định lý cơ bản của Đại số
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1) Không tồn tại đa thức thỏa yêu cầu bài toán.
2) Đa thức cần tìm là:
50
0.5 Định lý cơ bản của Đại số
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
51
0.5 Định lý cơ bản của Đại số
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải. Bởi vì đa thức với hệ số thực và 2 + i là một nghiệm, theo hệ quả ta có 2 –i cũng là nghiệm.
P(z) có thể phân tích thành (z – (2 + i))(z - (2 – i)) =
= z2 – 4z + 5
P(z) có thể ghi ở dạng
P(z) = (z2 – 4z + 5)(z2 + 9)
z2 + 9 có hai nghiệm 3i và –3i. Vậy ta tìm được cả 4 nghiệm của P(z) là 2 + i, 2 – i, 3i, -3i.
52
0.5 Định lý cơ bản của Đại số
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
53
Kết luận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
Cảm ơn các em nhiều!