Chương 4
NỘI SUY VÀ
XẤP XỈ HÀM
I. ĐẶT BÀI TOÁN :
Để tính giá trị của một hàm liên tục bất kỳ, ta có thể xấp xỉ hàm bằng một đa thức, tính giá trị của đa thức từ đó tính được giá trị gần đúng của hàm
Xét hàm y = f(x) cho dưới dạng bảng số
Các giá trị xk, k = 0, 1, .., n được sắp theo thứ tự tăng dần gọi là các điểm nút nội suy
Các giá trị yk = f(xk) là các giá trị cho trước của hàm tại xk
Bài toán : xây dựng 1 đa thức pn(x) bậc ?n thoả điều kiện pn(xk) = yk, k=0,1,.. n. Đa thức này gọi là đa thức nội suy của hàm f(x).
II. ĐA THỨC NỘY SUY LAGRANGE:
Cho hàm y = f(x) và bảng số
Ta xây dựng đa thức nội suy hàm f(x) trên [a,b]=[x0, xn].
Đặt
Ta có
Đa thức
có bậc ? n và thỏa điều kiện Ln(xk) = yk
gọi là đa thức nội suy Lagrange của hàm f
Ví dụ : Cho hàm f và bảng số
Xây dựng đa thức nội suy Lagrange và tính gần đúng f(2).
n = 2
Giải
Đa thức nội suy Lagrange
f(2) ? Ln(2) = -2/3
Cách biểu diễn khác :
?`(xk) = (xk-x0)(xk-x1)...(xk-xk-1)(xk-xk+1)...(xk- xn)
Đặt ?(x) = (x- x0)(x- x1) .... (x- xn)
với Dk = ?`(xk) (x-xk)
Để tính giá trị của Ln(x), ta lập bảng
tích dòng
tích đường chéo
Ví dụ : Cho hàm f và bảng số
Tính gần đúng f(-6)
Ta lập bảng tại x = -6
Vậy f(-6) ? L2(-6) = -6(-1/30+4/6+9/30) = -5.6
Ví dụ : Cho hàm f và bảng số
Tính gần đúng f(2)
Ta lập bảng tại x = 2
Vậy f(2) ? L3(2) = 4(-1/24 + 1/6 + 1/3 +1/24) = 2
TH đặc biệt : các điểm nút cách đều với bước h = xk+1 - xk
Đặt
Ta có xk = xo + kh
x-xk = x- xo-kh = (q-k)h
xi-xj = (xo+ih)-(xo+jh) = (i-j)h
?(x)=(x-x0)(x-x1) .... (x-xn)=q(q-1).(q-n)hn+1
?`(xk) = (xk-x0) ... (xk-xk-1)(xk-xk+1) . (xk-xn)
= k.(k-1) . 1.(-1)(-2) . (k-n)hn
= (-1)n-k k! (n-k)! hn
Ví dụ : Cho hàm f và bảng số
Tính gần đúng f(1.25)
Ta có n = 3 x = 1.25
h = 0.1 q = (1.25-1.1)/0.1 = 1.5
Vậy f(1.25) ? 18.375
giải
Công thức đánh giá sai số :
Giả sử hàm f(x) có đạo hàm đến cấp n+1 liên tục trên [a,b].
Đặt
Ta có công thức sai số
Ví dụ : Cho hàm f(x)=2x trên đoạn [0,1]. Đánh giá sai số khi tính gần đúng giá trị hàm tại điểm x=0.45 sử dụng đa thức nội suy Lagrange khi chọn các điểm nút xo=0, x1=0.25, x2=0.5, x3=0.75, x4=1
Giải
Ta có n = 4, f(5)(x) = (ln2)52x
? M5 = max |f(5)(x)| = 2(ln2)5
công thức sai số
III. ĐA THỨC NỘY SUY NEWTON:
1. Tỉ sai phân :
Cho hàm y = f(x) xác định trên [a,b]=[xo, xn] và bảng số
Đại lượng
gọi là tỉ sai phân cấp 1 của hàm f trên [xk,xk+1]
Tỉ sai phân cấp 2
Bằng qui nạp ta định nghĩa tỉ sai phân cấp p
Ví dụ : Cho hàm f và bảng số
Tính các tỉ sai phân
Giải : ta lập bảng các tỉ sai phân
2. Đa thức nội suy Newton :
Tỉ sai phân cấp 1
Tỉ sai phân cấp 2
nên
Tiếp tục bằng qui nạp ta được
Đặt
Ta được
Công thức này gọi là công thức Newton tiến xuất phát từ điểm nút xo
Tương tự ta có công thức Newton lùi
Nếu hàm f có đạo hàm liên tục đến cấp n+1, ta có công thức đánh giá sai số :
Ví dụ : Cho hàm f xác định trên [0,1] và bảng số
Tính gần đúng f(0.12) bằng Newton tiến và
f(0.9) bằng Newton lùi
Giải : ta lập bảng các tỉ sai phân
Newton lùi
Newton tiến
Ta có
3. TH các điểm nút cách đều :
Sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm tại điểm xk
?yk = yk+1 - yk
Bằng qui nạp, Sai phân hữu hạn cấp p của hàm tại điểm xk
?pyk = ?(?p-1yk) = ?p-1yk+1 - ?p-1yk
Ta có công thức
Công thức Newton tiến
Công thức Newton lùi
Ví dụ : Cho hàm f xác định và bảng số
Tính gần đúng f(32) và f(44)
Giải : ta lập bảng các sai phân hữu hạn
Newton lùi
Newton tiến
Tính gần đúng f(32) : dùng công thức Newton tiến
n = 3, xo = 30, q=(32-30)/5 = 0.4
Tính gần đúng f(44) : dùng công thức Newton lùi
n = 3, xn = 45, p=(44-45)/5 = -0.2
IV. SPLINE bậc 3 :
Với n lớn, đa thức nội suy bậc rất lớn, khó xây dựng và khó ứng dụng.
Một cách khắc phục là thay đa thức nội suy bậc n bằng các đa thức bậc thấp (? 3) trên từng đoạn [xk,xk+1], k=0,1,.,n-1
1. Định nghĩa :
Cho hàm y=f(x) xác định trên đoạn [a,b] và bảng số
Một Spline bậc 3 nội suy hàm f(x) là hàm g(x) thỏa các điều kiện sau :
g(x) có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên [a,b]
g(x)=gk(x) là 1 đa thức bậc 3 trên [xk,xk+1], k=0,1,..,n-1
g(xk) = yk, k=0,1, ., n
2. Cách xây dựng Spline bậc 3 :
Đặt hk = xk+1 - xk
gk(x) là đa thức bậc 3 nên có dạng :
gk(x) = ak+bk(x-xk)+ck(x-xk)2+dk(x-xk)3
Ta có g(xk) = yk
? ak = yk, k = 0,1,., n
g(x) khá vi liên tục đến cấp 2 nên
Điều kiện (A) suy ra
Điều kiện (C) suy ra
Ta có gk`(x) = bk+2ck(x-xk)+3dk(x-xk)2
gk"(x) = 2ck+6dk(x-xk)
Thay (2) vào (1) ta đước
Điều kiện (B) suy ra
Thay (2) và (3) vào (4) ta được
Phương trình (5) là hệ pttt gồm n-1 pt, dùng để xác định các hệ số ck. Từ ck và (2) (3) ta xác định được tất cả các hệ số của đa thức gk(x)
Phương trình (5) có vô số nghiệm, để có nghiệm duy nhất ta cần bổ sung thêm 1 số điều kiện
Định nghĩa :
Spline tự nhiên là spline với điều kiện
g"(a) = g"(b) = 0
Spline ràng buộc là spline với điều kiện
g`(a) = ?, g`(b) = ?
3. Spline tự nhiên :
Giải thuật xác định spline tự nhiên :
Điều kiện g"(a)=g"(b) = 0 suy ra co = cn = 0
B1. Tính hk=xk+1- xk, k = 0, n-1.
ak= yk, k = 0, n
B2. Giải hệ Ac = b tìm c = (co, c1, ., cn)t
B3. Tính các hệ số bk, dk.
Ví dụ : Xây dựng spline tự nhiên nội suy hàm theo bảng số
Giải
B1. ho = 2, h1 = 3. ao = 1, a1 = 1, a2 = 4
B2. Giải hệ Ac = b với c = (c0, c1, c2)t
n = 2
? co = c2 = 0, c1 = 3/10
B3. Tính các hệ số bk, dk.
Kết luận : spline tự nhiên
Ví dụ : Xây dựng spline tự nhiên nội suy hàm theo bảng số
B1. ho = h1= h2 = 1. ao = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8
n = 3
B2. Giải hệ Ac = b với c = (c0, c1, c2,c3)t
Giải ta được co = c3 = 0, c1 = 2/5, c2 = 7/5
B3. Tính các hệ số bk, dk.
Kết luận : spline tự nhiên
4. Spline ràng buộc :
Giải thuật xác định spline ràng buộc :
B1. Tính hk=xk+1- xk, k = 0, n-1.
ak= yk, k = 0, n
Điều kiện g`(a) = ?, g`(b) = ? xác định 2 pt :
B2. Giải hệ Ac = b tìm c = (co, c1, ., cn)t
B3. Tính các hệ số bk, dk.
Ví dụ : Xây dựng spline ràng buộc nội suy hàm theo bảng số
với điều kiện g`(0)=g`(2) = 0
Giải
B1. ho = h1 = 1. ao = 1, a1 = 2, a2 = 1
n = 2
B2. Giải hệ Ac = b với c = (c0, c1, c2)t
B3. Tính các hệ số bk, dk.
Kết luận : spline ràng buộc
V. BÀI TOÁN XẤP XỈ THỰC NGHIỆM :
Xét bài toán thống kê lượng mưa trong 12 tháng
Thực nghiệm (k=1..12)
Các giá trị yk được xác định bằng thực nghiệm nên có thể không chính xác. Khi đó việc xây dựng một đường cong đi qua tất cả các điểm Mk(xk, yk) cũng không còn chính xác
Bài toán xấp xỉ thực nghiệm : là tìm hàm f(x) xấp xỉ bảng {(xk,yk)} theo phương pháp bình phương cực tiểu :
Hàm f tổng quát rất đa dạng. Để đơn giản, trong thực tế thường ta tìm hàm f theo một trong các dạng sau :
f(x) = A + Bx
f(x) = A+Bx+Cx2
- f(x) = Asinx+Bcosx
f(x) = AeBx
f(x) = AxB
- f(x) = AlnBx .
1. Trường hợp f(x) = A+ Bx :
Phương trình bình phương cực tiểu có dạng
Bài toán qui về tìm cực tiểu của hàm 2 biến g(A,B)
Điểm dừng
Suy ra
Suy ra
Ví dụ : Tìm hàm f(x) = A + Bx xấp xỉ bảng số
Theo pp BPCT
Ta có n = 10
Giải hệ pt
Nghiệm A = 0.7671, B=1.0803
Vậy f(x) = 0.7671+1.0803x
2. Trường hợp f(x) = Acosx + Bsinx :
Phương trình bình phương cực tiểu có dạng
Bài toán qui về tìm cực tiểu của hàm 2 biến g(A,B)
Điểm dừng
Suy ra
Suy ra
Ví dụ : Tìm hàm f(x)=Acosx+Bsinx xấp xỉ bảng số
Theo pp BPCT
Ta có n = 5
Giải hệ pt
Nghiệm A = -0.1633, B=0.0151
Vậy f(x) = -0.1633cosx+0.0151sinx
rad
3. Trường hợp f(x) = Ax2 + Bsinx :
Phương trình bình phương cực tiểu có dạng
Bài toán qui về tìm cực tiểu của hàm 2 biến g(A,B)
Điểm dừng
Suy ra
Suy ra
Ví dụ : Tìm hàm f(x)=Ax2+Bsinx xấp xỉ bảng số
Theo pp BPCT
Ta có n =7
Giải hệ pt
Nghiệm A = 0.4867, B=1.4657
Vậy f(x) = 0.4857x2 + 1.4657sinx
4. Trường hợp f(x) = A+ Bx+Cx2:
Phương trình bình phương cực tiểu có dạng
Bài toán qui về tìm cực tiểu của hàm 3 biến g(A,B,C)
Điểm dừng
Suy ra
Suy ra
Ví dụ : Tìm hàm f(x) = A + Bx+Cx2 xấp xỉ bảng số
Theo pp BPCT
Ta có n = 7
Giải hệ pt
Nghiệm A = 4.3, B=-0.71, C=0.69
Vậy f(x) = 4.3-0.71x+0.69x2