Tru?ng DH B�ch khoa tp H? Chí Minh
Khoa Khoa h?c ?ng d?ng - B? mơn Tốn ?ng d?ng
------------------------------------------------------
Đại số tuyến tính

Chương 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ (tt)


Giảng viên TS. Đặng Văn Vinh
www.tanbachkhoa.edu.vn
N?i dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I – Toạ độ của véctơ.
II - Khơng gian con.
III - T?ng v� giao c?a hai khơng gian con.
I. To? d? c?a v�cto
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho E ={e1, e2, …, en} là cơ sở sắp thứ tự của K-kgvt V
Định nghĩa toạ độ của véctơ
I. Tọa độ của véctơ
-------------------------------------------------------------------------------------------------
I. Tọa độ của véctơ
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Giả sử
I. Tọa độ của véctơ
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Giả sử
I. Tọa độ của véctơ
-------------------------------------------------------------------------------------------------
I. Tọa độ của véctơ
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Trong không gian n chiều V cho một cơ sở
E ={e1, e2, …, en}.
Tất cả các vectơ của V đều biễu diễn qua E dưới dạng tọa độ.
Hai phép toán cơ bản: cộng hai vectơ và nhân vectơ với một số, và sự bằng nhau trong V có thể phức tạp.
Theo tính chất của tọa độ, ta thấy các phép toán này giống hoàn toàn trong Rn.
Suy ra cấu trúc của không gian vectơ V hoàn toàn giống Rn.
Chứng minh được V và Rn đồng cấu với nhau, vậy nên trong nghiên cứu ta đồng nhất V và Rn.
Tất cả các không gian n chiều đều coi là Rn.
I. Tọa độ của véctơ
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Hạng của M = hạng của họ vectơ của M ở dạng toạ độ.
Vậy M phụ thuộc tuyến tính
II. Không gian con
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II. Không gian con
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tập con khác rỗng F của K-kgvt V là không gian con của V khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây thỏa.
II. Không gian con
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
1. Chứng tỏ F là không gian con của R3
2. Tìm cơ sở và chiều của F.
Giải câu 2.
Khi đó
Kiểm tra thấy E độc lập tuyến tính.
Vậy E là cơ sở của F.
II. Không gian con
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải câu 2.
Hiển nhiên E độc lập tuyến tính.
Vậy E là cơ sở của F.
II. Không gian con
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
1. Chứng tỏ F là không gian con M2[R]
2. Tìm cơ sở và chiều của F.
II. Không gian con
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II. Khơng gian con
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II. Không gian con
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II. Không gian con
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho
II. Không gian con
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II. Không gian con
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II. Không gian con
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho
x có thuộc không gian con sinh ra bởi M?
Ví dụ
II. Không gian con
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho
III. Tổng và giao của hai không gian con
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho F và G là hai không gian con của K-kgvt V.
III. Tổng và giao của hai không gian con
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.
III. Tổng và giao của hai không gian con
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1. Tìm tập sinh của F. Giả sử là {f1, f2, …, fn}
2. Tìm tập sinh của G. Giả sử là {g1, g2, …, gm}
III. Tổng và giao của hai không gian con
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
III. Tổng và giao của hai không gian con
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải câu 1.
vì E độc lập tuyến tính.
III. Tổng và giao của hai không gian con
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải câu 2.
Bước 1. Tìm tập sinh của F.
Bước 2. Tìm tập sinh của G.
Cơ sở:
III. Tổng và giao của hai không gian con
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
III. Tổng và giao của hai không gian con
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải câu 1.
Vậy
vì E độc lập tuyến tính.
Vậy E là cơ sở
III. Tổng và giao của hai không gian con
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
III. Tổng và giao của hai không gian con
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
III. Tổng và giao của hai không gian con
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
III. Tổng và giao của hai không gian con
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho F và G là hai không gian con của P2[x], với
Ví dụ
Tìm cơ sở và chiều của
Cách 1. Có thể giải như các ví dụ trước.
Cách 2. Coi P2[x] là không gian R3.
F và G là hai mặt phẳng.
Cặp véctơ chỉ phương của F là: (1,1,-1); (0,2,1).
Cặp véctơ chỉ phương của G là: (1,-1,2); (0,1,1).
Pháp véctơ của F là (3,-1,2); pháp véctơ của G là (3,1,-1)
Giao của F và G là đường thẳng có vectơ chỉ phương: (-1,9,6)