Tru?ng DH B�ch khoa tp H? Chí Minh
Khoa Khoa h?c ?ng d?ng - B? mơn Tốn ?ng d?ng
------------------------------------------------------
Đại số tuyến tính

Chương 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ


Giảng viên TS. Đặng Văn Vinh
www.tanbachkhoa.edu.vn
Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I - Định nghĩa và Ví dụ
V - Không gian con.
II - Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
IV - Cơ sở và số chiều
III - Hạng của họ véctơ
KHÔNG GIAN VÉCTƠ V
I. Định nghĩa và các ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. (x + y) + z = x + (y + z)
3. Tồn tại véc tơ không, ký hiệu 0 sao cho x + 0 = x
4. Mọi x thuộc V, tồn tại vectơ, ký hiệu –x sao cho x + (-x) = 0
1. x + y = y + x;
8. 1x = x
I. D?nh nghia v� c�c ví d?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3) 0x = 0
5) -x = (-1)x
Tính chất của không gian véctơ
1) Véctơ không là duy nhất.
2) Phần tử đối xứng của véctơ x là duy nhất.
I. Định nghĩa và các ví dụ
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa phép cộng hai véctơ như sau:
Định nghĩa phép nhân véctơ với một số thực như sau:
Định nghĩa sự bằng nhau:
I. D?nh nghia v� c�c ví d?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa phép cộng hai véctơ: là phép cộng hai đa thức thông thường, đã biết ở phổ thông.
Định nghĩa phép nhân véctơ với một số: là phép nhân đa thức với một số thực thông thường, đã biết ở phổ thông.
Định nghĩa sự bằng nhau: hai véc tơ bằng nhau nếu hai đa thức bằng nhau, tức là các hệ số tương ứng bằng nhau).
I. D?nh nghia v� c�c ví d?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa phép cộng hai véctơ: là phép cộng hai ma trận đã biết trong chương ma trận.
Định nghĩa phép nhân véctơ với một số: là phép nhân ma trận với một số đã biết.
Định nghĩa sự bằng nhau của hai véctơ: hai véc tơ bằng nhau hai ma trận bằng nhau.
I. Định nghĩa và các ví dụ
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phép cộng hai véctơ và nhân véctơ với một số giống như trong ví dụ 1.
I. Định nghĩa và các ví dụ
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phép cộng hai véctơ và nhân véctơ với một số giống như trong ví dụ 1.
II. D?c l?p tuy?n tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
không đồng thời bằng 0
II. D?c l?p tuy?n tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vector x thuộc V được gọi là Tổ hợp tuyến tính của M, nếu
II. D?c l?p tuy?n tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trong không gian R3 cho họ véc tơ
Ví dụ 5
1. Hỏi M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?
2. Véctơ x = (2,-1,3) có là tổ hợp tuyến tính của họ M?
Giải câu 1.
Giả sử
Hệ có vô số nghiệm, suy ra M phụ thuộc tuyến tính
II. D?c l?p tuy?n tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải câu 2.
Giả sử
Vậy véctơ x không là tổ hợp tuyến tính của M.
II. D?c l?p tuy?n tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II. D?c l?p tuy?n tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II. D?c l?p tuy?n tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Trong không gian véctơ V cho họ
a. Vécto 2x + 3y có là tổ hợp tuyến tính của x, y, z.
b. M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
II. D?c l?p tuy?n tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Trong không gian véctơ V cho họ M = { x, y, z} độc lập tuyến tính.
Chứng tỏ {x+y+2z, 2x+3y+z, 3x+4y+z} độc lập tuyến tính.
Giả sử
Vì M độc lập tuyến tính nên ta có
Vậy M độc lập tuyến tính
II. D?c l?p tuy?n tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Trong không gian véctơ V cho họ ĐLTT
a.
b.
c.
Các tập hợp con sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
II. D?c l?p tuy?n tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Trong không gian véctơ V cho độc lập tuyến tính, z không là tổ hợp tuyến tính của x và y.
Chứng minh rằng độc lập tuyến tính
II. D?c l?p tuy?n tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II. D?c l?p tuy?n tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nếu mỗi véctơ yk của N là tổ hợp tuyến tính của M và n > m, thì N là tập phụ thuộc tuyến tính.
II. D?c l?p tuy?n tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Trong không gian véctơ V cho họ M = { x, y} tùy ý.
Hỏi M1 ={2x+y, x+3y, 3x+y} độc lập hay phụ thuộc tt?
Giả sử
Sai vì M chưa chắc độc lập tuyến tính
Lời giải đúng.
Kiểm tra thấy mỗi vectơ của M1 là tổ hợp tt của M
Vì số lượng véctơ trong M1 là 3 nhiều hơn trong M là 2
Theo bổ đề cơ bản, M1 phụ thuộc tuyến tính.
II. D?c l?p tuy?n tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Trong không gian véctơ V cho hai họ
a. Chứng minh rằng nếu M ĐLTT tính thì M1 ĐLTT
và
b. Chứng minh rằng nếu M1 ĐLTT tính thì M ĐLTT
III. H?ng c?a h? v�cto
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hạng của họ M là số tối đại các véctơ độc lập tuyến tính của M.
II. D?c l?p tuy?n tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Trong không gian véctơ V cho họ ĐLTT
a.
b.
Tìm hạng của các họ véc tơ sau đây.
c.
1. Hạng của họ véctơ M không đổi nếu ta nhân một véctơ của M với một số khác không.
II. D?c l?p tuy?n tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính chất của hạng họ véctơ
2. Cộng vào một véctơ của họ M, một véctơ khác đã được nhân với một số thì hạng không thay đổi.
3. Thêm vào họ M một véctơ x là tổ hợp tuyến tính của M thì hạng không thay đổi.
III. H?ng c?a h? v�cto
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
III. H?ng c?a h? v�cto
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
III. H?ng c?a h? v�cto
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho A là ma trận cở mxn trên trường K.
Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ véctơ hàng A.
Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ véctơ cột của A.
III. H?ng c?a h? v�cto
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
M là họ véctơ hàng của A. Suy ra hạng của M bằng hạng r(A) của ma trận A.
III. H?ng c?a h? v�cto
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho tập hợp M chứa m véctơ.
1. Nếu hạng của M bằng với m (số véctơ của M) thì M độc lập tuyến tính.
2. Nếu hạng của M nhỏ hơn m (số véctơ của M ) thì M phụ thuộc tuyến tính.
3. Nếu hạng của M bằng với hạng của M thêm véctơ x, thì x là tổ hợp tuyến tính của M.
II. D?c l?p tuy?n tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II. D?c l?p tuy?n tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II. D?c l?p tuy?n tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II. D?c l?p tuy?n tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
IV. Co s? v� chi?u
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
IV. Co s? v� chi?u
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ 12
Kiểm tra tập sau đây có là tập sinh của không gian R3
Khi đó x là tổ hợp tt của M, hay M sinh ra R3.
Hệ có nghiệm
Giả sử
IV. Co s? v� chi?u
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ 13
Kiểm tra tập sau đây có là tập sinh của không gian R3
IV. Co s? v� chi?u
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ 14
M có là tập sinh của không gian P2[x]?
Suy ra M không là tập sinh.
II. D?c l?p tuy?n tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Trong không gian véctơ V cho tập sinh M = {x, y, z}.
Hỏi M1 = {2x, x + y, z} có là tập sinh của V?
Có nghĩa là v là tổ hợp tuyến tính của M1
Hay M1 sinh ra vectơ v, mà vì v tùy ý nên M1 sinh ra kgian V
II. D?c l?p tuy?n tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Trong không gian véctơ V cho tập sinh M = {x, y, z}.
Hỏi M2 = {x, x+y, x - y} có là tập sinh của V?
Trường hợp 1. z là tổ hợp tuyến tính của x và y.
Thật vậy, ta chứng minh M2 không sinh ra được véctơ z.
Khi đó ta chứng minh M2 là tập sinh của không gian véctơ V
Trường hợp 2. z không là tổ hợp tuyến tính của x và y.
Khi đó ta chứng minh M2 là không tập sinh của không gian véctơ V.
IV. Co s? v� chi?u
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nếu V không được sinh ra bởi tập hữu hạn, thì V được gọi là không gian vô hạn chiều
II. D?c l?p tuy?n tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Trong không gian véctơ V, cho M = {x, y, z} là cơ sở của V.
Hỏi M1 = {2x + y + z, x + 2y + z, x + y + z} có là cơ sở của V?
Chứng minh rằng M1 là tập sinh của V.
Chứng minh rằng M1 độc lập tuyến tính bằng định nghĩa.
II. D?c l?p tuy?n tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Trong không gian véctơ V, cho M = {x, y, z} là cơ sở của V.
Hỏi M1 = {2x, 3y, z, x + y + z} có là tập sinh của V?
Đáp án. M1 là cơ sở của V. Thật vậy chỉ cần chứng tỏ 2x, 3y, z là tập sinh của V.
IV. Co s? v� chi?u
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng minh
IV. Co s? v� chi?u
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dễ dàng chứng tỏ tập E sau đây là cơ sở
Chứng tỏ tập E sau đây là cơ sở
Chứng tỏ tập E sau đây là cơ sở
IV. Co s? v� chi?u
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
IV. Co s? v� chi?u
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
IV. Co s? v� chi?u
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
IV. Co s? v� chi?u
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
IV. Co s? v� chi?u
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------