Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Đại số tuyến tính

Chương 5: Không gian Euclid


Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008)
www.tanbachkhoa.edu.vn
Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5.1 – Tích vô hướng của hai véctơ. Các khái niệm liên quan.
5.3 – Quá trình trực giao hóa Gram – Schmidt.
5.2 – Bù vuông góc của không gian con.
5.4 – Hình chiếu vuông góc, khoảng cách đến không gian con.
5.1 Tích vơ hu?ng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa tích vô hướng
Tích vô hướng trong R-kgvt V là một hàm thực sao cho mỗi cặp véctơ u và v thuộc V, tương ứng với một số thực ký hiệu (u,v) thỏa 4 tiên đề sau:
Không gian thực hữu hạn chiều cùng với một tích vô hướng trên đó được gọi là không gian Euclid.
Giải.
5.1. Tích vơ hu?ng
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
5.1. Tích vơ hu?ng
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Trong không gian cho qui tắc
1. Chứng tỏ (p,q) là tích vô hướng.
2. Tính tích vô hướng của
2. Tích vô hướng của hai véctơ (p,q) là
5.1. Tích vơ hu?ng
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Véctơ có độ dài bằng 1 gọi là véctơ đơn vị.
Chia một véctơ cho độ dài của nó ta được véctơ đơn vị.
Quá trình tạo ra véctơ đơn vị được gọi là chuẩn hóa.
5.1. Tích vơ hu?ng
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5.1. Tích vơ hu?ng
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trong không gian cho qui tắc
5.1. Tích vơ hu?ng
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
1. Chứng tỏ (x,y) là tích vô hướng.
2. Tính tích vô hướng của hai véctơ
Trong không gian cho qui tắc
5.1. Tích vơ hu?ng
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
3. Tìm độ dài của véctơ
Chú ý: So sánh với độ dài véctơ ở phổ thông! Cùng một véctơ nhưng “dài” hơn!!!
5.1. Tích vơ hu?ng
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
4. Tìm khoảng cách giữa hai véctơ
Chú ý: So sánh với khoảng cách giữa hai véctơ ở phổ thông. Khoảng cách giữa hai điểm “lớn” hơn!!!
Trong không gian cho qui tắc
5.1. Tích vơ hu?ng
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
5. Tìm góc giữa hai véctơ
5.1. Tích vơ hu?ng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P2[x], đặt
1. Chứng tỏ (p,q) là tích vô hướng.
2. Tính (p,q) với
5.1. Tích vơ hu?ng
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P2[x], đặt
3. Tìm độ dài của véctơ
5.1. Tích vơ hu?ng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P2[x], đặt
5.1. Tích vơ hu?ng
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P2[x], đặt
5. Tính góc giữa hai véctơ
5.2. Tích vơ hu?ng
---------------------------------------------------------------------
5.1. Tích vơ hu?ng
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5.1. Tích vơ hu?ng
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mệnh đề
Véctơ x vuông góc với không gian con F khi và chỉ khi x vuông góc với tập sinh của F.
Chứng minh.
Hiển nhiên.
hay x vuông góc f.
Vậy x vuông góc với F.
5.1. Tích vơ hu?ng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trong không gian R3 với tích vô hướng chính tắc cho không gian con
Ví dụ
cho véctơ x = ( 2, 3, m).
Tìm tất cả m để x vuông góc với F.
Bước 1. Tìm tập sinh của F
Bước 2.
chú ý tích vô hướng!!
5.2. B� vuơng gĩc c?a khơng gian con
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5.2. B� vuơng gĩc c?a khơng gian con
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bước 1. Tìm một tập sinh của F. Giả sử đó là
Bước 2. Tìm không gian con bù vuông góc.
5.2. B� vuơng gĩc c?a khơng gian con
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ. Cho là không gian con của R3. Tìm cơ sở và chiều của .
Giải.
5.2. B� vuơng gĩc c?a khơng gian con
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ. Cho
là không gian con của R3. Tìm cơ sở và chiều của .
Giải. Bước 1. Tìm tập sinh của F.
Bước 2. Tương tự như ở ví dụ trước.
5.2. B� vuơng gĩc c?a khơng gian con
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định lý
Cho S= {u1, u2, ..., um} là tập hợp con, trực giao, không chứa véctơ không của không gian Euclid V. Khi đó S độc lập tt.
Chứng minh (bằng định nghĩa của độc lập tuyến tính)
Khi đó
Vậy S độc lập tuyến tính.
5.2. B� vuơng gĩc c?a khơng gian con
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng minh.
vì E là cơ sở trực chuẩn nên
5.2. B� vuơng gĩc c?a khơng gian con
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5.2. B� vuơng gĩc c?a khơng gian con
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho cơ sở trực chuẩn của không gian Euclid V
Cho hai véctơ của V:
Xét tích vô hướng của x và y:
Khi làm việc với cơ sở trực chuẩn thì công việc tính tích vô hướng của hai véctơ rất nhanh gọn!!
5.3 Qu� trình tr?c giao hĩa Gram-Schmidt
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Khi làm việc với không gian Euclid V, ta làm việc với cơ sở của không gian véctơ.
Theo định lý trên và ví dụ ở slide trước ta thấy nếu cơ sở là trực chuẩn thì công việc tính toán rất nhanh (tính tọa độ, tính tích vô hướng của hai véctơ, tính độ dài, khoảng cách, …)
Yêu cầu đặt ra: tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclid V.
Bước 1. Trước hết, ta chọn một cơ sở tùy ý E của V.
Bước 2. Dùng quá trình Gram – Schdmidt sau đây đưa E về cơ sở trực giao.
Bước 3. Chia mỗi véctơ cho độ dài của nó ta được cơ sở trực chuẩn.
5.3 Qu� trình tr?c giao hĩa Gram-Schmidt
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5.3 Qu� trình tr?c giao hĩa Gram-Schmidt
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Quá trình trực giao hóa Gram – Schmidt
Khi đó {f1, f2, ..., fm} là cơ sở trực giao của W.
5.3 Qu� trình tr?c giao hĩa Gram-Schmidt
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chia mỗi vectơ cho độ dài của nó ta được họ trực chuẩn
5.3 Qu� trình tr?c giao hĩa Gram-Schmidt
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Bước 1. Chọn một cơ sở tùy ý của F:
Bước 3. Cơ sở trực chuẩn là:
Trong không gian R4 với tích vô hướng chính tắc cho không gian con
Ví dụ
Tìm chiều và một cơ sở trực chuẩn của F.
Bước 2. Dùng quá trình Gram Schmidt đưa E về cơ sở trực giao
5.4. Hình chi?u vuơng gĩc, kho?ng c�ch.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trong không gian Euclid V cho không gian con F và một véctơ v tùy ý.
Véctơ v có thể biễu diễn duy nhất dưới dạng:
véctơ f được gọi là hình chiếu vuông góc của v xuống F:
Nếu coi véctơ v là một điểm, thì độ dài của véctơ g là khoảng cách từ v đến không gian con F.
5.4. Hình chi?u vuơng gĩc, kho?ng c�ch.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài toán. Cho không gian con F và một vectơ v.
1) Tìm hình chiếu vuông góc của v xuống F.
Giải câu 1). Tìm một cơ sở của F. Giả sử đó là:
2) Tìm khoảng cách từ v đến F.
câu 2).
5.4. Hình chi?u vuơng gĩc, kho?ng c�ch.
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Trong không gian R4 với tích vô hướng chính tắc cho không gian con
Ví dụ
1) Tìm hình chiếu vuông góc của véctơ xuống F.
2) Tìm khoảng cách từ véctơ đến F.
1).
Tìm một cơ sở của F:
2).
2) Tìm khoảng cách từ đến F.
5.4. Hình chi?u vuơng gĩc, kho?ng c�ch.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trong không gian véctơ P2[x] với tích vô hướng
Cho không gian con
Ví dụ
1) Tìm hình chiếu của xuống F.
1).
Tìm một cơ sở của F:
Suy ra hình chiếu vuông góc và khoảng cách.